1º Comencemos haciendo varios puzles pitagóricos.
2º Ahora conviene demostrar el teorema. Te proponemos varias construcciones que sirven como demostración. Tu tarea es ver por qué demuestran el teorema y formalizar la demostración.
Demostración de Pitágoras 1 Demostración de Pitágoras 2
Demostración Da Vinci
Demostración de Pappus
3º Recíproco del teorema de Pitágoras.
Observa la construcción y utilízala para clasificar triángulos dados sus tres lados.
Construcción
4º Generalización del teormea de Pitágoras
Observa la construcción y generaliza el teorema.
Construcción
5º Construye un triángulo rectángulo y, sobre sus lados, tres semicirculos, como ves en el dibujo.
Demostración de Pitágoras 1 Demostración de Pitágoras 2
Demostración Da Vinci
Demostración de Pappus
3º Recíproco del teorema de Pitágoras.
Observa la construcción y utilízala para clasificar triángulos dados sus tres lados.
Construcción
4º Generalización del teormea de Pitágoras
Observa la construcción y generaliza el teorema.
Construcción
5º Construye un triángulo rectángulo y, sobre sus lados, tres semicirculos, como ves en el dibujo.
Halla una relación entre las áreas de los semicírculos y demuéstrala.
Haz lo mismo con hexágonos regulares.
6º Ternas pitagóricas
Terna pitagórica de Mesopotamia
(entre 1900 y 1600 a. C.):
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a = p2 - q2 b = 2 pq y c = p2 + q2
Haz lo mismo con hexágonos regulares.
6º Ternas pitagóricas
Una terna pitagórica consta de tres números enteros {a, b, c} que son los lados de un triángulo rectángulo, es decir, cumplen la igualdad c2 = a2 + b2.
Por ejemplo las ternas {3, 4, 5} y {5, 12, 13} son pitagóricas ya que 52 = 42 + 32 y 132 = 122+ 52.
Sin embargo las ternas {1, 2, 4} o {4, 15/2, 17/2} no lo son pues en la primera 42 no es igual a 22 + 12 y en la segunda, aunque es cierto que (17/2)2 = (15/2)2 + 42 (compruébalo), los números 17/2 y 15/2 no son enteros.
Las ternas pitagóricas se conocen desde la antigüedad. En unas tablillas de arcilla mesopotámicas aparecen 15 ternas y todas ellas siguen el siguiente patrón:
Terna pitagórica de Mesopotamia
(entre 1900 y 1600 a. C.):
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Si p y q son números enteros positivos con p > q, entonces los números
forman una terna pitagórica.
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El problema que te proponemos tiene cuatro partes:
1. Obtén a, b y c para p = 8 y q = 5 y comprueba que forman una terna pitagórica.
2. ¿Qué números p y q nos dan la terna pitagórica {93,476,485}?
3. Demuestra que los números a, b y c obtenidos mediante las fórmulas de Mesopotamia forman una terna pitagórica para cualquier valor de p y q.
4. Encuentra todas las ternas pitagóricas en las que 20 sea uno de los tres números.
